Beklenen değer tam olarak neyi ölçer?
Beklenen değer (EV), aynı bahsi çok sayıda kez tekrarladığınızı düşündüğünüzde, bahis başına ortalama olarak ne kadar kazanıp ne kadar kaybedeceğinizi gösteren bir sayıdır. “Bu kupon tutar mı?” sorusuna cevap vermez. Cevap verdiği soru şudur: “Bu fiyattan bu bahsi uzun vadede tekrar tekrar alsam, bahis başına ortalama sonuç ne olurdu?” Yani EV bir tahmin değil, bir ortalamadır. Bu ayrımı baştan koymak gerekiyor, çünkü yanlış anlamaların çoğu ortalamayı tek bir sonuç gibi okumaktan çıkar.
Formül ve içindeki üç parça
Formül şöyle yazılır: EV = p × net kâr − (1 − p) × kayıp. Buradaki p, bahsin tutma olasılığıdır. Net kâr, bahis tutarsa cebinize ana paranız hariç kalan fazlalıktır. Kayıp ise bahis yatarsa kaybettiğiniz tutardır; tek seçimli basit bir bahiste bu, yatırdığınız paranın tamamıdır.
Burada sık yapılan bir hata var: net kâr ile ana para dahil dönüşü karıştırmak. Bir bahsin size “geri ödediği” tutar ana paranızı da içerir. Formüle girmesi gereken ise yalnızca ana paranın üstüne gelen kısımdır. Ana parayı iki kez saymak, EV’yi olduğundan çok daha iyi gösterir.
Ondalık oran net kâra nasıl çevrilir?
Ondalık oranlarda (Avrupa tipi) oran, 1 birim yatırdığınızda ana para dahil toplam dönüşü verir. Net kâr bu yüzden oranın bir eksiğidir. Tamamen varsayımsal bir örnek: oran 2,20 olsun ve 100 TL yatırdığınızı düşünelim. Bahis tutarsa toplam dönüş 220 TL olur. Bunun 100 TL’si kendi paranızdır, dolayısıyla net kâr 120 TL’dir. Yani net kâr = yatırım × (oran − 1) = 100 × 1,20 = 120 TL.
Adım adım hesap: yüzde 40 ve oran 2,20
Şimdi varsayımsal senaryoyu kuralım. Bir olayın gerçekleşme ihtimalini yüzde 40 olarak tahmin ettiğinizi varsayalım; yani p = 0,40. Oran 2,20, yatırım 100 TL. Bu rakamlar yalnızca hesabı göstermek için seçilmiş uydurma değerlerdir; gerçek bir maç, piyasa ya da tahmin anlamına gelmez.
Adım 1 – Net kâr: 100 × (2,20 − 1) = 120 TL.
Adım 2 – Kayıp: Bahis yatarsa 100 TL gider.
Adım 3 – Tutma tarafı: 0,40 × 120 = 48 TL.
Adım 4 – Yatma tarafı: (1 − 0,40) × 100 = 0,60 × 100 = 60 TL.
Adım 5 – Fark: EV = 48 − 60 = −12 TL.
Bahis başına beklenen değer −12 TL çıkıyor. Yatırılan 100 TL’ye oranlarsak bu −0,12, yani yaklaşık yüzde 12’lik bir ortalama kayıptır. Konunun başlığındaki “−0,12” tam olarak bu sayıdır: birim başına beklenen sonuç.
Aynı sonucu “kırılma noktası” ile kontrol etmek
Hesabı ters yönden de doğrulayabilirsiniz. Oran 2,20 ise bahsin başa baş olması için gereken olasılık 1 ÷ 2,20 ≈ 0,4545, yani yaklaşık yüzde 45,5’tir. Tahmininiz yüzde 40 ise başa baş noktasının altında kalıyorsunuz; EV’nin negatif çıkması bundandır. Tahmininiz yüzde 45,5’e eşit olsaydı EV sıfıra yaklaşırdı. Bu kontrol, formülü ezberlemeden mantığını görmenizi sağlar: oran sizden belli bir olasılık “talep ediyor”, sizin tahmininiz bu talebin altındaysa ortalama sonuç negatiftir.
Bu −12 TL tek bir kuponda yaşanacak bir şey mi?
Hayır, ve bu başka bir yaygın yanlış anlama. Tek bahiste −12 TL diye bir sonuç yoktur. Gerçekte iki ihtimal vardır: yüzde 40 olasılıkla +120 TL, yüzde 60 olasılıkla −100 TL. −12 TL bu iki sonucun olasılıklarla ağırlıklandırılmış ortalamasıdır; ikisinin arasında bir yerde durur ama hiçbirine eşit değildir. Zar atışında ortalama 3,5 çıkması, zarın hiçbir yüzünde 3,5 yazmaması gibi düşünebilirsiniz.
“İhtimal” ile “ortalama sonuç” neden aynı şey değil?
Tutma ihtimali yalnızca ne sıklıkla kazanacağınızı söyler. Ortalama sonuç ise o kazançların büyüklüğünü ve kayıpların büyüklüğünü de hesaba katar. Yüzde 40 ihtimal “on bahisten dördü tutar” demektir; ama dördünün getirdiği toplam, altısının götürdüğünden fazla mı az mı, bunu oran belirler. Örneğimizde on bahis için ortalama tabloya bakalım: dört tutan bahis 4 × 120 = 480 TL net kâr getirir, altı yatan bahis 6 × 100 = 600 TL götürür. Toplam −120 TL, bahis başına −12 TL. Dörtte kazanmak güzel görünür, fakat kâr kalemi küçük kaldığı için tablo eksiye düşer.
Bu hesabın neyi göstermediğine dair not
Yukarıdaki işlem, bahsin tek seçimli ve oranın ondalık gösterildiği basit bir yapıda olduğunu varsayar. Kupon birleştirme, komisyon, iade ya da bonus gibi koşullar sisteme göre değişir ve hesabı da değiştirir. Bunlar formülün kendisinin değil, her platformun kendi kurallarının konusudur; dolayısıyla bir sitedeki koşulu, bir başkasındaki ya da belirli bir oyun sürümündeki koşulla eşit saymamak gerekir. Formülün sabit kalan kısmı ise şudur: olasılık, net kâr ve kayıp doğru tanımlandığında EV, ortalamayı tek bir sayıyla özetler.
Pozitif beklenen değer neden “kazanırım” demek değil?
Bir önceki bölümde, tahmini yüzde 40 ihtimal ve 2,20 oranla bir bahsin birim başına eksi 0,12 beklenen değer verdiğini görmüştük. Şimdi aynı hesabı tersine çevirelim: varsayımsal olarak tahminimizin yüzde 50 olduğunu düşünelim. Net kâr 1,20 birim, kayıp 1 birimdir. Hesap şöyle: 0,50 × 1,20 = 0,60; 0,50 × 1 = 0,50; fark artı 0,10. Yani her 1 birimlik bahiste ortalama 0,10 birim artı beklenir. Okurların çoğu burada “demek ki bu bahis tutar” sonucuna atlar. Oysa 0,10, hiçbir tekil sonucun gerçekte yaşanacağı rakam değildir. Tek bir bahiste ya 1,20 kazanırsınız ya 1 kaybedersiniz; 0,10 ikisinin ağırlıklı ortalamasından ibarettir ve uzun bir tekrar serisi için anlam taşır.
Tek bahiste ortalama sonuç yaşanmaz
Bir bozuk paranın “yazı” gelmesi halinde 1 birim kazandığınız, “tura” gelmesi halinde 1 birim kaybettiğiniz bir oyunda beklenen değer sıfırdır. Ama hiçbir atış sıfır sonucunu vermez; ya artı 1 ya eksi 1 görürsünüz. Beklenen değeri “olması muhtemel sonuç” diye okumak, ortalamayı tek bir olayın kaderiyle karıştırmaktır. Bizim artı 0,10’luk örneğimizde de durum aynıdır: tek denemede yüzde 50 ihtimalle zarardasınızdır.
Tahmini p’deki hata, artıyı eksiye çevirebilir
Gerçek hayatta p’yi bilmeyiz, sadece tahmin ederiz. Aynı oran 2,20 için denge noktasını bulalım: beklenen değerin sıfır olması için p × 1,20 = (1 − p) × 1 olmalıdır. Buradan p = 1 / 2,20 ≈ 0,4545 çıkar, yani yaklaşık yüzde 45,5. Bu eşik, kendi tahmininizin ne kadar kırılgan olduğunu gösterir.
Varsayalım ki yüzde 50 dediğiniz ihtimal gerçekte yüzde 44. O zaman hesap: 0,44 × 1,20 = 0,528; 0,56 × 1 = 0,56; sonuç eksi 0,032. Sadece altı puanlık bir tahmin sapması, artı 0,10’u eksi 0,032’ye çevirdi. Üstelik “yüzde 50” gibi yuvarlak bir sayı genellikle titiz bir ölçümün değil, kabaca bir sezginin ürünüdür. Pozitif beklenen değer, ancak girdi olan p doğruysa pozitiftir; p yanlışsa hesap kusursuz bile olsa sonuç yanlıştır.
Birçok bağımsız denemede bireysel sonuçlar neden ayrışır?
Bir başka yanlış anlama: “Yüz bahis oynarsam ortalama gerçekleşir.” Aynı varsayımsal örneği, p = 0,50 doğru kabul ederek, bağımsız 100 deneme için düşünelim. Beklenen toplam: 100 × 0,10 = artı 10 birim. Peki gerçekte ne olur? Her deneme ya artı 1,20 ya eksi 1 verir; tek bahsin standart sapması yaklaşık 1,1 birimdir. Bağımsız denemelerde sapmalar karekökle büyür: 1,1 × √100 = yaklaşık 11 birim. Yani 100 bahisten sonra toplam sonuç, beklenen artı 10’un etrafında artı/eksi 11 birim genişliğinde bir bantta dolaşır. Bu, kabaca iki kişiden birinin… hayır, daha doğrusu şunu söyler: aynı stratejiyi aynı varsayımla oynayan pek çok kişi arasında bazıları 100 bahis sonunda eksi bakiyede olacaktır.
Somut dağılım: 100 denemede 50 galibiyet gelirse sonuç 50 × 1,20 − 50 × 1 = artı 10 olur. 45 galibiyette 54 − 55 = eksi 1; 40 galibiyette 48 − 60 = eksi 12. Yani yüzde 50 olan bir olayın 100 denemede 45 ya da 40 kez gerçekleşmesi hiç de sıra dışı değildir. Beklenen değer pozitif olduğu halde bu iki kişi zararla ayrılır.
Ortalamanın yaklaşması, farkın kapanması demek değildir
Deneme sayısı arttıkça birim başına ortalama sonuç 0,10’a yaklaşır; bu doğrudur. Ancak mutlak toplam fark kapanmaz, hatta genişleyebilir. 10.000 denemede beklenen toplam artı 1.000, standart sapma ise 1,1 × 100 = yaklaşık 110 birimdir. Birim başına sapma küçülür (11 yerine 0,011), fakat toplam bakiyedeki dalgalanma mutlak olarak büyür. “Eksideysem sıra bana gelir, ortalama beni telafi eder” düşüncesi bu yüzden yanlıştır: geçmiş kayıplar bir sonraki bahsin ihtimalini değiştirmez, bağımsız denemeler hafıza taşımaz.
Oyun kuralından bağımsız okuma
Buradaki bütün sayılar varsayımsaldır; belirli bir oyunun, masanın ya da platformun gerçek ihtimalini veya komisyonunu yansıtmaz. Bir oyunda kuralların sabit çerçevesi ile (örneğin hangi sonucun kaç oranla ödediği) belirli bir sürüm veya masa koşulunun farkı (ödeme tablosu, limit, kesinti) beklenen değeri doğrudan değiştirir. Hesap aynı kalır, girdiler değişir.
Kısacası, pozitif beklenen değer bir tahmindir, bir vaat değil: p kesin değildir, tek sonuç ortalamayla örtüşmez ve çok denemede bile bireysel bakiyeler birbirinden belirgin biçimde ayrışır.